Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Τετάρτη, 22 Σεπτεμβρίου 2010

Παράδοξα - Το παράδοξο της σανίδας (*****)

γρίφος παράδοξο σανίδα
Κατά τη γνώμη μου, όποιος επιλύει αυτό το παράδοξο χωρίς εξωτερική βοήθεια είναι ένας νέος Ισαάκ Νεύτων!
Για την παρακολούθηση της πιο κάτω απόδειξης απαιτούνται κάπως πιο προχωρημένες γνώσεις Φυσικής.
Μία σανίδα μήκους $L=1$ μέτρο, είναι γερμένη πάνω σε έναν τοίχο κάθετο με το έδαφος, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Πιάνουμε τη σανίδα από το κάτω άκρο της και την τραβάμε μακριά από τον τοίχο με μικρή αλλά σταθερή ταχύτητα $\nu$. Η σανίδα θα αρχίσει να κινείται τόσο κατά τον οριζόντιο όσο και κατά τον κατακόρυφο άξονα, ενώ θα βρίσκεται σε επαφή με τον τοίχο και το έδαφος.
Θα αποδείξουμε πως το άνω άκρο της σανίδας θα καταλήξει να κινείται με άπειρη ταχύτητα. Προσπαθήστε να ανακαλύψετε σε ποιο από τα παρακάτω βήματα βρίσκεται το λάθος και γιατί.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ
  1. Ορίζουμε σαν $x(t)$ την οριζόντια απόσταση που απέχει κάθε χρονική στιγμή $t$ το κάτω άκρο της σανίδας από τον τοίχο.
  2. Ορίζουμε σαν $y(t)$ την κάθετη απόσταση που απέχει κάθε χρονική στιγμή $t$ το άνω άκρο της σανίδας από το έδαφος.
  3. Αφού ο τοίχος, το έδαφος και η σανίδα σχηματίζουν κάθε στιγμή ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορούμε να γράψουμε:
  4. $$L^2=x(t)^2+y(t)^2$$
  5. Από το Βήμα 3 προκύπτει πως:
  6. $$y(t)=\sqrt{L^2-x(t)^2}$$
  7. Υπολογίζουμε την παράγωγο του $y$ ως προς $t$, με τον κανόνα της αλυσίδας και τον κανόνα της παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης:
  8. $$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{-x}{\sqrt{L^2-x^2}}\frac{dx}{dt}$$
  9. Το διαφορικό $dy/dt$ μπορούμε να το συμβολίσουμε σαν $u(t)$ και είναι η ταχύτητα που κινείται το άνω άκρο της σανίδας πάνω στον τοίχο και το διαφορικό $dx/dt$ είναι η σταθερή ταχύτητα $\nu$ που κινείται το κάτω άκρο της σανίδας πάνω στο έδαφος. Δηλαδή η σχέση στο Βήμα 5 γράφεται:
  10. $$u(t)=\frac{-x(t)\cdot\nu}{\sqrt{L^2-x(t)^2}}$$ Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε και αν υπολογίζαμε την παράγωγο $dy/dt$ στον τύπο του 4ου Βήματος, αναλύοντας το $x(t)$ σε $x_o+\nu t$.
  11. Όσο η σανίδα πλησιάζει να ακουμπήσει ολόκληρη στο έδαφος, το $x$ τείνει στο $L$. Έτσι ο αριθμητής του πιο πάνω κλάσματος τείνει στην τιμή $–L\nu$, η οποία είναι μη μηδενική και ο παρονομαστής τείνει στο μηδέν.
  12. Άρα η ταχύτητα $u(t)$ του άνω άκρου της σανίδας συνεχώς αυξάνεται και ενώ η σανίδα τείνει να ακουμπήσει στο έδαφος, η ταχύτητα τείνει στο άπειρο.
Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
trapatsas, pegasusgr, takis7up, swt, Michalis, batman1986, stratos, MrKitsos, saxon, kraptaki, Zaxarias, Test, Antonis1996, ΘΑΝΑΤΟΣ, Maugrim, theo, vakos, Aspect, mousatos, Antonis Tsiflikiotis, raffako, xp2012, Crocodile23, agelos, @md@, Θανάσης Παπαδημητρίου, Roland_Of_Gilead, Βαγγέλης, st1, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Aliki, ΓιώργοςΚων, cris, Σωτήρης, argram, George78, Spyros, sf, Petros, nerd, Νεφέλη, Steli0s1

Υπολογισμού - Δεκαδικός ως κλάσμα δύο ακεραίων (****)

Βρείτε δύο ακέραιους αριθμούς, οι οποίοι όταν διαιρεθούν ο ένας με τον άλλον το αποτέλεσμα να είναι ο αριθμός 0,35624624624… με την ακολουθία 624 να επαναλαμβάνεται επ’ άπειρον.

Υπόδειξη: Δεν ενδείκνυται να βρείτε τους δύο ακεραίους με δοκιμές γιατί είναι σχετικά μεγάλοι αριθμοί. Θα πρέπει να ανακαλύψετε έναν μηχανισμό που να δίνει με αλγεβρικό τρόπο το ζητούμενο αποτέλεσμα. Άπαξ και τον βρείτε, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση οποιουδήποτε άλλου δεκαδικού αριθμού με περιοδικά ψηφία. Ο συγκεκριμένος δεκαδικός του προβλήματος δεν έχει κάτι το ιδιαίτερο και δίνεται μόνο σαν παράδειγμα εφαρμογής του ζητούμενου μηχανισμού.

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
trapatsas, ΧΑΡΗΣ, fandom, aldel, MrKitsos, offspring, Pavlos D., christos_86, batman1986, pegasusgr, Baggos, stam, Spiros E, xazos+xaroumenos, stratos, takis7up, angelsoul, swt, Αγιος Βασιλης, Dimitrios, bioamanas, Michalis, Antonis1996, johnthegreek, Konstantinos Ts, Δημητρης, nikolakhs, mathusalas, dpap78, jorgos, Fofo, κωστικας, kraptaki, monk, Κυριαζής Γιώργος, Steli0s1, Aris S, saxon, Nikolas A., GooD, ΘΑΝΑΤΟΣ, Dreamkiller, stavgeor, fighter, DanielGraig, nikdant, killerado, Δ.Δ., Biorebel, kwstas148, cascader, gitsios, theo, Κώστας Κ., Μάγια, efthimis, r9, Xeliaz, st, gedelbil, Nikos Stamatiou, Θανάσης Παπαδημητρίου, tasosi2008, kb666, geo, manos8, jason1996, Png, BOMBER, Aliki, straniero, ΕΑΛΕΞΙΟΥ,  percival, gvoutsi1995, casperakos, g.clifford, babis, Leo28, qwerty, BAndrew, stelios stylianou, depier-2012, Michalis14, ZORIKOS, g&k, nama, G SOZELGI, voula, ΜΑΡΑΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ, cris, Πανος Κουζου, scap, dimsot1989, sf, Kris Geo, Αποστόλης Τσεσμελής, βασ.νταιφ, ntsa, Antonios Seretis, Πειραχτήρι, antonisss, daskalos1971, bill1988, prinkal, Petros, alexpsomi, Stathis, nerd, grvoodoo, Γ. Κ., manos, JOELMARX, Μάρκος Μπε π, Γρηγόρης, Kos Monodri, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, Νεφέλη, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Νίκος Ηλιόπουλος, Dyer, tasoe

Πιθανοτήτων - Τρίγωνο από σπασμένο σπίρτο (****)

Παίρνουμε ένα μακρύ σπίρτο (από αυτά που ανάβουμε το τζάκι) και σημειώνουμε πάνω του δύο τυχαία σημεία. Στη συνέχεια σπάμε το σπίρτο στα σημεία αυτά και μένουμε με τρία κομμάτια του σπίρτου.
Ποια είναι η πιθανότητα να μπορούν να ενωθούν αυτά τα τρία κομμάτια ώστε να σχηματίζουν ένα τρίγωνο;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
ΧΑΡΗΣ, fandom, batman1986, MrKitsos, pegasusgr, stratos, enfante gatee, sotrixios, takis7up, ksekarfotos, Michalis, offspring, swt, Kontoleon, kraptaki, rockwave, Πιθανολογος, Test, Kalach-cha, saxon, ΘΑΝΑΤΟΣ, Obionekenobicsi, stavgeor, theo, Θανάσης Παπαδημητρίου, Crocodile23, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, G SOZELGI, sf, alexpsomi, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, JOELMARX, Νεφέλη, Png

Ανάλυσης - Το νέο εντομοκτόνο (****)

Μια ομάδα χημικών ανακάλυψε ένα νέο εντομοκτόνο, εντελώς αβλαβές για τον άνθρωπο. Η μέθοδος που εργάστηκαν είχε ως εξής: Παρασκεύαζαν ένα υποψήφιο μείγμα μέσα σε έναν δοκιμαστικό σωλήνα και στη συνέχεια ψέκαζαν με μία σταγόνα από αυτό το μείγμα μία μύγα. Περίμεναν μία ώρα να δράσει και παρατηρούσαν αν η μύγα θα πέθαινε. Κρατούσαν όλους τους δοκιμαστικούς σωλήνες με τα διάφορα μείγματα που είχαν δοκιμάσει σε περίπτωση που χρειαστούν πάλι. Οι πρώτες 499 προσπάθειές τους δεν είχαν επιτυχία. Τα αντίστοιχα μείγματα απλώς ζάλισαν λίγο τις μύγες. Το 500ο μείγμα όμως, μετά από μία ώρα περίπου, σκότωσε τη μύγα στην οποία δοκιμάστηκε.
Από τη χαρά τους βγήκαν έξω να το γιορτάσουν. Όταν επέστρεψαν είδαν με τρόμο πως μια ομάδα φοιτητών έπαιζε με τους 500 δοκιμαστικούς τους σωλήνες με αποτέλεσμα να τους μπερδέψουν και να μην μπορούν τώρα να εντοπίσουν ποιος από αυτούς περιείχε το σωστό εντομοκτόνο. Επιπλέον τους είχαν μείνει μόνο 10 μύγες και σε μιάμιση ώρα έληγε η προθεσμία που είχαν για την παράδοση του σωστού δοκιμαστικού σωλήνα για μαζική παραγωγή του εντομοκτόνου.
Με δεδομένο ότι θα χρειαστούν περίπου μισή ώρα προετοιμασίας για την εκτέλεση ενός νέου πειράματος, πώς μπορούν να εντοπίσουν τον σωστό σωλήνα μέσα στην υπόλοιπη μία ώρα;

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
ΧΑΡΗΣ, fandom, batman1986, trapatsas, kajabbar, aldel, MrKitsos, Pavlos D., offspring, pegasusgr, stratos, enfante gatee, sotrixios, takis7up, Antonis1996, swt, Michalis, ksekarfotos, Danger, johnthegreek, griffith, manwlou, Nick, GooD, ΘΑΝΑΤΟΣ, saxon, stavgeor, Dreamkiller, killerado, BIKI, theo, efthimis, straniero, Θανάσης Παπαδημητρίου, takis, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, qwerty, Aspect, Χαράλαμπος Αλεξόπουλος, G SOZELGI, sf, Κύριος Ζίκος, kraptaki, Πειραχτήρι, Κυριαζής Γιώργος, daskalos1971, gerodiak, Kris Geo, alexpsomi, prinkal, Γιασσιράνης Δημήτριος, nerd, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Γρηγόρης, Stathis,

Συνδυασμών - Αποτέλεσμα 6 (***)

Χρησιμοποιώντας τις παρακάτω τριάδες αριθμών και οποιοδήποτε άλλο μαθηματικό σύμβολο θέλετε ανάμεσά τους, προσπαθήστε να καταλήξετε σε αποτέλεσμα 6 στην κάθε εξίσωση. Δεν επιτρέπεται η χρήση των ψηφίων 0 έως 9 εκτός αυτών που δίνονται ήδη σε κάθε εξίσωση, καθώς και η χρήση αριθμητικών σταθερών όπως οι π, e, κλπ.

1 1 1 = 6
2 2 2 = 6
3 3 3 = 6
4 4 4 = 6
5 5 5 = 6
6 6 6 = 6
7 7 7 = 6
8 8 8 = 6
9 9 9 = 6

Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
trapatsas, ΧΑΡΗΣ, batman1986, fandom, aldel, kajabbar, offspring, MrKitsos, deniskol54565456, Jammy, NIKOS kolovis, pegasusgr, giorgos133gr, ioli, stratos, enfante gatee, takis7up, swt, Antonis1996, Agelos_X, stelios, Michalis, Dimitrios, bioamanas, ksekarfotos, BILLY T, Δημητρης, Danger, tg, Kontoleon, johnthegreek, xristina, Πάνος, kraptaki, saxon, Λία, @rtemis, Eleni, Κυριαζής Γιώργος, Aris S, Steli0s1, Emily4ever, Συνδυαστης, Test, Nick, themis, Evangelos, ΘΑΝΑΤΟΣ, Dreamkiller, stavgeor, p.kritikos, fighter, Theo, maria, killerado, Δ.Δ., Biorebel, BIKI, panos, Aspect, geo, r9, Kyriakos, gedelbil, Xeliaz, Nikos Stamatiou, Θανάσης Παπαδημητρίου, kb666, efthimis, giorgos k, mars, asofe, jason1996, Gipas, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, straniero, efthymis, AlexiouG, BOMBER, takis, g.clifford, percival, p@nos, Leo28, panagiwtakis, MelLo, qwerty, BAndrew, Theodor, Tamy, ZORIKOS, teodoro92, nama, Εύα, Panos, G SOZELGI, Κυριαζής Γιώργος, Al Di, nomnomnom, Nikos V, Aliki, Fanis, lakostas, sf, #@#, Stathis, Png, daskalos1971, nikos_ex, Κάποιος, VelzeVoul, Nikos Lentzos, kakkalos, George Efthim, Kris Geo, QuestionOfHeaven, Peter V, PanosZero, manouhl, Χρηστος Χ., alexpsomi, ΜΑΚΗΣ, stem, panoslep, cris, PraikoN, Kensh1n, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, Νεφέλη, Γρηγόρης, Lampros LaKo, integral, YIANNIS KAZIA, Antonios Seretis, Μιχάλης από Ηλιούπολη, sakis kefallinos, Chris Chreece,