Γίνε μέλος στο grifoi.org

Στους γρίφους με τη σήμανση ".Άλυτοι 1-100" μπορούν να στέλνουν τις λύσεις τους μόνο τα Μέλη του site grifoi.org. Πληροφορίες για το πως θα γίνετε μέλος μπορείτε να διαβάσετε εδώ.

Σάββατο, 7 Αυγούστου 2010

Παράδοξα - Απόδειξη πως είμαι ο Πάπας με χρήση Διαφορικού Λογισμού (****)

Την παρακάτω απόδειξη πως είμαι ο Πάπας την έστειλα στο Βατικανό και περιμένω την απόφασή τους για το σχετικό χρίσμα. Λέτε να γίνει δεκτή ή όχι και γιατί;
  1. Ξεκινάμε με την ισότητα $x^2=x\cdot x$
  2. Το δεύτερο μέλος γράφεται $x+x+x+\ldots+x$   ($x$ φορές)
  3. Άρα $x^2=x+x+x+\ldots+x$   ($x$ φορές)
  4. Παίρνουμε την παράγωγο ως προς $x$ και των δύο μελών: $(x^2)'=(x+x+x+\ldots+x)'$
  5. Επειδή η παράγωγος ενός αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των παραγώγων του έχουμε: $(x^2)'=x'+x'+x'+\ldots+x'$
  6. Υπολογίζουμε τις παραγώγους και στα δύο μέλη: $2x=1+1+1+\ldots+1$   ($x$ φορές)
  7. Άρα $2x=x$
  8. Για $x\neq 0$ προκύπτει πως $2=1$
  9. Ο Πάπας είναι ένας.
  10. Κι εγώ είμαι ένας.
  11. Άρα εγώ και ο Πάπας είμαστε δύο.
  12. Επειδή όμως στο Βήμα 8 απέδειξα πως $2=1$, σημαίνει πως εγώ και ο Πάπας είμαστε ένα.
  13. Άρα εγώ είμαι ο Πάπας!
Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
bioamanas, Δημητρης, ΧΑΡΗΣ, trapatsas, batman1986, aldel, MrKitsos, pegasusgr, xazos+xaroumenos!, Xrhstaras, takis7up, panagos, Antonis1996, swt, Michalis, green_leaf, stratos, Sipan, Konstantinos Ts, dpap78, Πάνος, kraptaki, saxon, Steli0s1, Spyros, Zaxarias, Xiaris, Test, ΘΑΝΑΤΟΣ, Dreamkiller, akousis, Δ.Δ., kwstas148, theo, efthimis, Xeliaz, gedelbil, debate, Nikos Stamatiou, Θανάσης Παπαδημητρίου, kb666, Μητσαρας, spyros7, rockwave, Crocodile23, manwlou, agelos, Leo28, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, qwerty, depier-2012, Roland_Of_Gilead, Βαγγέλης, Thanos, Λεωνιδας, Stavros Karakepelis, G SOZELGI, Peter V, Panos, Dsp-Ninja, cris, Νίκος, Σωτήρης, parmapan, βασ.νταιφ, ioannesx, antonisss, nikos_ex, Nikos Lentzos, Γεώργιος, sf, George Efthim, Kris Geo, Filippos, Agis, George78, nerd, alexpsomi, Χελιδὼν, poe815, Νεφέλη, Gio, daskalos1971, YIANNIS KAZIA, BOMBER, ΧΡΙΣΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ

    Πέμπτη, 5 Αυγούστου 2010

    Πιθανοτήτων - Μία στάμνα (**)

    Έχουμε μία στάμνα που περιέχει ανακατεμένους 49 λευκούς και 51 μαύρους βόλους. Οι βόλοι διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς το χρώμα τους.
    Πόσους βόλους πρέπει να τραβήξουμε με κλειστά τα μάτια, ώστε να μεγιστοποιήσουμε την πιθανότητα να βγάλουμε ίσο αριθμό λευκών και μαύρων βόλων;

    Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
    GRigori0s, Steli0s1, Chris, tsimartsie, batman1986, ΧΑΡΗΣ, trapatsas, fandom, MrKitsos, Pavlos D., pegasusgr, Kontoleon, enfante gatee, stratos, takis7up, civil, swt, Antonis1996, Stoyo, Καλογιαννίδης, Michalis, ksekarfotos, sotrixios, cool, 23os, πρεζοναυτης, Πάνος, saxon, kraptaki, offspring, rockwave, Πιθανολογος, ΘΑΝΑΤΟΣ, themis, Zo, stavgeor, killerado, gvoutsi1995, Nikos Stamatiou, Lucidreamer, manos, avevaios, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Θανάσης Παπαδημητρίου, BOMBER, xristoforos, Aliki, Crocodile23, Bicoulino, g.clifford, percival, manos, giorgaras55, Περικλης Μανιατης, s0k1s, tasoe, george ts, Theodor, parmapan, G SOZELGI, Peter V, takis, Manos Dounis, lakostas, sf, daskalos1971, sciamano caotico, alexpsomi, Kensh1n, PraikoN, Νεφέλη

    Υπολογισμού - Στρατός μυρμηγκιών (***)

    Ένας στρατός μυρμηγκιών έχει παραταχθεί σε μία γραμμή μήκους ενός μέτρου, ο ένας πίσω από τον άλλον και κινούνται με σταθερή ταχύτητα 6 μέτρα την ώρα. Ξαφνικά, το μυρμηγκάκι που βρίσκεται στο τέλος της ουράς θέλει να μεταδώσει ένα μήνυμα στον αρχηγό που βρίσκεται στην αρχή της ουράς. Ανοίγει λοιπόν το βήμα του, φτάνει στον αρχηγό με το μήνυμα και αμέσως επιστρέφει πάλι πίσω στη θέση του. Αυτή η αποστολή του μυρμηγκιού έγινε επίσης με σταθερή ταχύτητα και μόλις ολοκληρώθηκε, η γραμμή των μυρμηγκιών είχε μετακινηθεί κατά ένα μέτρο.
    Ποια ήταν η ταχύτητα του μυρμηγκιού κατά τη διάρκεια της αποστολής του;

    Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
    Papaveri, ΧΑΡΗΣ, alpapado, batman1986, aldel, trapatsas, fandom, MrKitsos, offspring, pegasusgr, xazos+xaroumenos!, enfante gatee, stratos, takis7up, xrhstaras, destyl, swt, Dimitrios, The Bug, Michalis, ksekarfotos, Antonis1996, Stoyo, jorgos, κωστικας, drakosdim, kraptaki, jimis petkos, saxon, konikuno, KITSIOS, Png, Nikolas A., gkk, Spyros, Xiaris, GooD, Evangelos, ΘΑΝΑΤΟΣ, stavgeor, fighter, akousis, Δ.Δ., Biorebel, cascader, tasosi2008, Κώστας Κ., vakos, billakos16, efthimis, Kyriakos, gedelbil, teo28april, st, Nikos Stamatiou, Θανάσης Παπαδημητρίου, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, straniero, casperakos, g.clifford, takis, Ο_παρατηρητής, χρυση παν., p@nos, percival, qwerty, αχκακος, depier-2012, tasoe, ZORIKOS, Jp, nama, G SOZELGI, g&k, Steli0s1, vacha68, Antonios Seretis, dimsot1989, Κυριάκος Κουγιουμτζόπουλος, sf, Kris Geo, Stathis, daskalos1971, Πειραχτήρι, kakkalos, Kris Geo, bill1988, nerd, Kensh1n, grvoodoo, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, JOELMARX, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, Νίκος Ηλιόπουλος, Athanas79 P.,

    Ανάλυσης - Λιώσιμο πάγου (****)

    Σε μια μπανιέρα με νερό ρίχνουμε μέσα ένα καθαρό κομμάτι πάγου και όταν το νερό ηρεμήσει σημειώνουμε το ύψος της στάθμης του. Όταν ο πάγος θα λιώσει, το ύψος της στάθμης του νερού θα μειωθεί, θα παραμείνει σταθερό ή θα αυξηθεί και γιατί;
    Οι απαντήσεις σας θα πρέπει να είναι πολύ αναλυτικές και αν είναι δυνατόν να συνοδεύονται από εξισώσεις που ισχύουν στη φυσική.

    Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
    Steli0s1, alpapadο, filippos_s, Giannis, ΧΑΡΗΣ, aldel, trapatsas, Arkin, MrKitsos, batman1986, pegasusgr, djasotos, xazos+xaroumenos, stratostakis7up, swt, offspring, Agelos_X, Stoyo, Michalis, tg, jorgos, Antonis1996, peterpan, kraptaki, saxon, Nikolas A., Png, Evangelos, Princess Aribeth, stavgeor, BOMBER, Mark, Δ.Δ., ΒΙΚΙ, theo, Σαμαράς Απόστολος, efthimis, Kyriakos, st, Θανάσης Παπαδημητρίου, BOMBER, xristoforos, casperakos, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, g.clifford, percival, qwerty, αχκακος, vassilistrend, tremo-asxc, depier-2012, MoMo, Χαράλαμπος Αλεξόπουλος, L, ΔηΓε, G SOZELGI, Panos, Μιχάλης Σταυρόπουλος, Aliki, sf, βασ.νταιφ, Antonios Seretis, daskalos1971, Πειραχτήρι, bill1988, Kris Geo, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Γιαννης Ορφανος, kakkalos, XENIOS ZEUS, ντινα, Stathis, Νίκος Ηλιόπουλος

    Ανάλυσης - Σύνολο 15 (****)

    Παίζετε το εξής παιχνίδι με έναν φίλο σας: Βάζετε πάνω σε ένα τραπέζι ανοικτά εννέα φύλλα μιας τράπουλας, αυτά με τους αριθμούς από 1 έως 9 (θεωρούμε πως ο άσσος είναι το 1). Στη συνέχεια ο κάθε παίκτης εναλλάξ παίρνει από ένα φύλλο και το βάζει μπροστά του. Αυτός που θα συγκεντρώσει πρώτος άθροισμα 15 κερδίζει το παιχνίδι.
    Πρέπει να βρείτε την καλύτερη στρατηγική παιχνιδιού για κάθε μία από τις παρακάτω δύο παραλλαγές. Η πρώτη παραλλαγή είναι σχετικά εύκολη, ενώ η δεύτερη είναι δύσκολη! Και στις δύο παραλλαγές παίζετε πρώτος:

    1η παραλλαγή: Το άθροισμα 15 υπολογίζεται με τα δικά σας φύλλα μαζί με τα φύλλα του αντιπάλου σας. Αν το άθροισμα ξεπεράσει το 15 τότε το παιχνίδι θεωρείται ισόπαλο. Με ποιες επιλογές φύλλων θα κερδίζετε κάθε παιχνίδι;

    2η παραλλαγή: Το άθροισμα 15 υπολογίζεται από ΤΡΙΑ ΔΙΚΑ ΣΑΣ ΦΥΛΛΑ και αντίστοιχα ο αντίπαλός σας θα πρέπει να συγκεντρώσει άθροισμα 15 με τρία δικά του φύλλα. Τα φύλλα που θα συγκεντρώσει ο κάθε παίκτης μπορεί να είναι περισσότερα από τρία και το συνολικό άθροισμά τους μεγαλύτερο από 15, αλλά για να κερδίσει θα πρέπει ακριβώς τρία από αυτά να δίνουν άθροισμα 15. Ποιες επιλογές φύλλων είναι οι καλύτερες στην προσπάθειά σας να κερδίσετε το παιχνίδι;
    Αν δεν μπορέσετε να βρείτε μόνοι σας τη λύση σ’ αυτήν την παραλλαγή, σας δίνεται σαν βοήθεια μία μόνο λέξη, η οποία όμως μπορεί να σας δώσει την απαιτούμενη έμπνευση! Μαρκάρετε με το ποντίκι την περιοχή μεταξύ των δύο βελών για να αποκαλυφθεί.
    Λέξη βοήθειας: → ΤΡΙΛΙΖΑ

    Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
    Papaveri, Godfather_X, fandom, aldel, kajabbar, offspring, batman1986, stratos, takis7up, swt, Antonis1996, Michalis, ksekarfotos, Kontoleon, Πάνος, jimis petkos, saxon, Elminster Aumar, ΘΑΝΑΤΟΣ, stavgeor, theo, efthimis, Xeliaz, BOMBER, Θανάσης Παπαδημητρίου, straniero, casperakos, g.clifford, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, kraptaki, qwerty, erratic, Aliki, jason1996, sf, Πειραχτήρι, G SOZELGI, daskalos1971, bill1988, alexpsomi, JOELMARX, kakkalos, ilias.alkidis,

    Ανάλυσης - Αποτέλεσμα 1.000.000 (**)

    Βρείτε δύο ακέραιους αριθμούς (του δεκαδικού συστήματος) που το γινόμενό τους να είναι ο αριθμός 1.000.000, αλλά κανείς από τους δύο να μην περιέχει το ψηφίο μηδέν.

    Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
    GRigori0s, NIGHTMARE, a, tsimartsie, ΧΑΡΗΣ, Godfather_X, xatzisjr, alpapado, kasmerkas, P@NOS, Βασίλης, batman1986, bioamanas, fandom, Δημητρης, aldel, trapatsas, Pantelis, MrKitsos, Pavlos D., deniskol54565456, pegasusgr, offspring, stratos, takis7up, Καλογιαννίδης, xara, swt, Antonis1996, effie, Agelos_X, carabasj, kostas21, sarkiris, Dimitrios, Michalis, ksekarfotos, tg, Kontoleon, Danger, johnthegreek, teolabro, xristina, Πάνος, jimis petkos, kraptaki, rockwave, saxon, giannhs, @rtemis, Gkk, antmar, griffith, Eleni, noanh2opolo, Aris S, Png, Emily4ever, Steli0s1, Συνδυαστης, Test, than_kon, stauros, ΘΑΝΑΤΟΣ, Dreamkiller, darthvader, stavgeor, fighter, GT, Vizener, nikdant, maria, giannis, tasmil, killerado, Biorebel, kwstas148, cascader, tasosi2008, panos, ξενοφων, Μάγια, efthimis, Baggos, Ψυρούκης-Τριχ'ωνας, Giannismarg, r9, Xeliaz, gedelbil, st, Nikos Stamatiou, Θανάσης Παπαδημητρίου, manos8, giorgos k, joanna 1996, gvoutsi1995, mars, jason1996, Gipas, BOMBER, straniero, xristoforos, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, efthymis, percival, AlexiouG, Kostakis Mp, g.clifford, takis, Leo28, alki, Καραγιάννη Ειρήνη, BAndrew, qwerty, stelios stylianou, Ο Άστατος, Mike Ambas, george ts, Tamy, Theodor, Χαράλαμπος Αλεξόπουλος, nama, Panos, G SOZELGI, Κυριαζής Γιώργος, voula, cris, nomnomnom, ZORIKOS, Haris kartalis, Fanis, demetris72, scap, voula, lakostas, Joanna Laura, sf, Stathis, βασ.νταιφ, daskalos1971, Antonios Seretis, Πειραχτήρι, nikos_ex, Χρηστος Χ., ΧΡ.ΧΑΣΑΝΕΑΣ, bill1988, asotos-ios, Kris Geo, kakkalos, Γ. Κ., guitaboygrizi, alexpsomi, Konstantinos, stem, John Corpet, panoslep, Γιασσιράνης Δημήτριος, nerd, Kensh1n, Alone, grvoodoo, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, joelmarx, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, Γρηγόρης, Gio, jim plivou, Xhino, Ink Ognito, Νεφέλη, C.K, Andreas_Loco, YIANNIS KAZIA, ΧΡΙΣΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, Νίκος Ηλιόπουλος, finavia, sakis kefallinos, ilias.alkidis, Athanas79 P.,

    Παράδοξα - Ένας ελέφαντας ζυγίζει όσο ένα κουνούπι (**)

    Προσπαθήστε να βρείτε που βρίσκεται το λάθος στον παρακάτω υπολογισμό:
    1. Έστω πως $x$ είναι το βάρος ενός ελέφαντα και $y$ είναι το βάρος ενός κουνουπιού.
    2. Έστω πως $2b$ είναι το συνολικό τους βάρος. Δηλαδή $x+y=2b$
    3. Την πιο πάνω εξίσωση μπορούμε να την γράψουμε με δύο τρόπους: Α) $x=\,–y+2b$     Β) $x–2b=\,–y$
    4. Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις εξισώσεις Α και Β και παίρνουμε: $x(x–2b)=\,–y(–y+2b)\Leftrightarrow x^2–2xb=y^2–2yb$
    5. Προσθέτουμε σε κάθε μέλος της πιο πάνω εξίσωσης το $b^2$ και έχουμε: $x^2–2xb+b^2=y^2–2yb+b^2$
    6. Παραγοντοποιούμε και τα δύο μέλη με χρήση της γνωστής ταυτότητας: $(x–b)^2=(y–b)^2$
    7. Παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα και των δύο μελών: $x–b=y–b$
    8. Προσθέτουμε το $b$ και στα δύο μέλη: $x=y$
    και καταλήγουμε πως ένας ελέφαντας ζυγίζει όσο ένα κουνούπι!

    Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
    GRigori0s, Steli0s1, NIGHTMARE, Godfather_X, Teo, alpapado, Baggos, Maestro, ΧΑΡΗΣ, isminiagios1991, batman1986, bioamanas, titanomegistoterastios, fandom, trapatsas, aldel, kajabbar, x_mac, Sourotiri, MrKitsos, offspring, pegasusgr, Pavlos D., xazos+xaroumenos!, Kontoleon, xrhstaras, nikos-sora, stratos, takis7up, enfante gatee, sotrixios, Christine MgKl, panagos, Agelos_X, Antonis1996, gousia, Geniuskanela, tg, swt, Aristotelis, Dimitrios, πρεζοναυτης, The Bug, Michalis, ksekarfotos, mstasos, Konstantinos Ts, 1st1, psofoC, Stoyo, dimitris83, Eris Skampis, panos, 23os,  johnthegreek, dpap78, Kordas Antonis, μαρια17, Kyrillos, Πάνος, saxon, jimis petkos, kraptaki, giannhs, Αυτοδιδακτος, vasil, sapounofouskes, griffith, konikuno, ΧΟΥΛΚ, Χάρης, diamanto, Κυριαζής Γιώργος, ΤΖΩΤΖΙΟΥ, Aris S, Spyros, Zaxarias, Test, Nick, anty, elenii, GooD, ΘΑΝΑΤΟΣ, necrothaftis, themis, epicas, Dreamkiller, alex, aristi, paris, fighter, DanielGraig, p.kritikos, CHRISFYT, stavgeor, stav, killerado, akousis, Δ.Δ., DrH, mars, GiorgosP, Ι.Σ., nik_pil, kwstas148, Babis, cascader, kostas, kostakis, panos, theo, Aspect, panos1982, profesorofchoise, efthimis, periklis, vad, Xeliaz, gedelbil, Nikos Stamatiou, st, debade, Μάνος8, Θανάσης Παπαδημητρίου, Γιώργος, Nikos Stamatiou, manos8, Christos II', vasilis, mousatos, Master, adria96, andreasi2008, vantsak, ION, BOMBER, elgato13, Crocodile23, Aliki, Tzortz1s, takis, koritsares, fokion, zou, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, AlexiouG, percival, Maladict, Leo28, jason1996, argram, BAndrew, qwerty, tasosi2008, vassilistrend, stelios stylianou, Βαγγέλης, Roland_Of_Gilead, leoperisteri13, g&k, depier-2012, george ts, Tamy, γιωργος f.r., Mike Ambas, filareti, nama, dimitris94, Thanos, DepyAl, Stavros Karakepelis, VAKIS, Εύα, G SOZELGI, Panos, cris, Jason Tzimas, Περικλης Μανιατης, xpanos1999, Κώστας Χαραλαμπίδης, Nikos V, Anestis, Πέτρος, Σωτήρης, καιτη.π, Dimitris Passas, L, parmapan, KOSPOD, evelyn, Κυριάκος Κουγιουμτζόπουλος, SDAce, lakostas, Johnny, βασ.νταιφ, George Psom, Kodi NikaiaGR, Τροικα, jorge1, daskalos1971, στρατιωτης, Lucidreamer, Πειραχτήρι, antonisss, Παναγιωτης Καταραχιας, Χρηστος Χ, nikos_ex, Κάποιος, Jason Tarzan, ΔΡΟΣΕΡΟΣ, sf, Nikos Lentzos, Γεώργιος, Chica, παναης, ΧΡ.ΧΑΣΑΝΕΑΣ, mikes tsampounaris, Κυριαζής Γιώργος, gerodiak, geo, George Efthim, thanos logothetis, ZORIKOS, Kris Geo, asotos-ios, QuestionOfHeaven, NiSmO, PanosZero, Peter V, Konstantinos, alexpsomi, panoslep, zoe, John Samaras, nerd, Georgia Panagopoulou, anastasia589, Drifter, Kensh1n, Alone, grvoodoo, I Love Harry Potter, Teodoros Tsantilis, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, jony, Γρηγόρης, γιωργοςταφ, Νεφέλη, Gio, Vag Rip, sxg, wfE EWFWAF, kakkalos, integral, YIANNIS KAZIA, Axilleas, ΧΡΙΣΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, ΧΡΙΣΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, Νίκος Ηλιόπουλος

    Δευτέρα, 2 Αυγούστου 2010

    Υπολογισμού - Γέμισμα μπανιέρας (**)

    Μία μπανιέρα έχει από πάνω της τρεις βρύσες, με διαφορετική ροή η κάθε μία, συνδεδεμένες σε διαφορετικούς σωλήνες παροχής νερού. Η πρώτη βρύση, αν ανοιχτεί μόνη της, γεμίζει την μπανιέρα σε 3 ώρες, η δεύτερη γεμίζει την μπανιέρα σε 4 ώρες και η τρίτη σε 6 ώρες.
    Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει η μπανιέρα αν ανοιχτούν και οι τρεις βρύσες ταυτόχρονα;

    Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
    georgegeo21 kostas, Steli0s1, GRigori0s, Papaveri, BigGeorge, jasonstavran, contucker, antinetrino, Martina, Godfather_X, alpapado, Teo, Giannis, Βασίλης, leyteris, xatzisjr, ΧΑΡΗΣ, jio, Maestro, agios1991, batman1986, bioamanas, fandom, aldel, Δημητρης, trapatsas, Sourotiri, offspring, MrKitsos, pegasusgr, Pavlos D., xazos+xaroumenos!, NoNoKhaN, christos_86, Λουκάς Σ., Kontoleon, Mike, dorian grey, enfante gatee, djasotos, stratos, xara, takis7up, Καλογιαννίδης, angelsoul, civil, swt, Antonis1996, Agelos_X, carabasj, Stoyo, Dimitrios, πρεζοναυτης, ksekarfotos, Michalis, John, tg, johnthegreek, DADINOU, sotrixios, taliosdio, ioannis lele, ZAFEIRHS, aygo, Pantelis, metalas, dpap78, Danger, jorgos, Eris Skampis, κωστικας, efi ^_^, sportbilly, peterpan, ΓΙΩΡΓΟΣ, drakosdim, Dimis, κωστας πετρουπολη, kraptaki, Πάνος, saxon, jimis petkos, Νικόλαος Βασιλικιώτης, giannhs, xrisdum, Μιχαλης Γιοβας, CHRISTOS, vicky, Gkk, Vaios, konikuno, Nikolas A., Κυριαζής Γιώργος, erratic, genadiosadamidis, Μένιππος, Walker, Png, Aris S, Spyros, stauros, Foris, GooD, kostis, Evangelos, moschos, Zort, ΘΑΝΑΤΟΣ, stavgeor, fighter, BOMBER, GT, lmng247, Dreamkiller, Balleader, vlassis, nikdant, tasmil, maria, tasosi2008, Mark, akousis, killerado, GiorgosP, Biorebel, stem, cascader, teoz, Κώστας Κ., malo, sofia, aimatocritis, crocker, Skopelicious7, kostakis, mathusalas, Lucidreamer, Andreas Petrou, efthimis, monia, teo28april, δημητρης, prochatz, gmar, Kyriakos, vad, gedelbil, boilover, Nikos Stamatiou, Xeliaz, gvoutsi1995, st, avevaios, ggg, Θανάσης Παπαδημητρίου, kb666, geo, giorgos k, ALEX K., asofe, jason1996, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Gipas, BOMBER, straniero, casperakos, Noeta, percival, greece, manos8, g.clifford, takis, harris, Ο_παρατηρητής, Aliki, p@nos, Leo28, PraikoN, Vandina, pantws_oxi_o_beiber, qwerty, αχκακος, Ο Άστατος, depier-2012, AlexiouG, tasoe, Michalis14, ZORIKOS, g&k, Mike Ambas, Theodor, George Betsis, keyser soze, ko3aris, anastakz, BAndrew, πετρος16, nama, ΜΑΡΑΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ, G SOZELGI, Peter V, Εύα, voula, cris, xpanos1999, vacha68, kotsa Riko, G.Kass, panos_n, Manos Dounis, Jim, George78, Antonios Seretis, paok, dimsot1989, marina, Fanis, scap, Κυριάκος Κουγιουμτζόπουλος, paschalisb, Stelios Larisa, lakostas, sf, demetris72, mikes tsampounaris, ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΣΓΟΥΡΟΜΑΛΛΗΣ, timi, Μάριος Παντελιάδης, vapapadopo54, #@#, Kris Geo, ntsa, Stathis, jorge1, μανος, daskalos1971, βασ.νταιφ, Πειραχτήρι, Diam, Παναγιωτης Καταραχιας, nikos_ex, νικος, Γεώργιος, ΧΡ.ΧΑΣΑΝΕΑΣ, kakkalos, bill1988, Γ. Κ., Chris Efthym, alexpsomi, ΓΙΩΡΓΟΣ ΒΟΡΕΙΟΣ, 123efr456, prinkal, sciamano caotico, Λευτέρης, panoslep, MixMar, Adonis Lafazanis, nerd, Kensh1n, grvoodoo, Vis, gcourb, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, JOELMARX, Kos Monodri, dannys, Γρηγόρης, Ιωάννης Μαστοράκης, E.Tsakiris, YIANNIS KAZIA, ΧΡΙΣΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, Konstantinos K, Athanas79 P.,

    Ανάλυσης - Η πρόκληση των φοιτητών (****)

    Ο καθηγητής των μαθηματικών έβαλε την παρακάτω πρόκληση στους 20 φοιτητές του. Τους είπε πως θα τους ζητήσει να σταθούν όλοι σε μία σειρά, ο ένας πίσω από τον άλλον, θα σβήσει τα φώτα και θα φορέσει στον καθέναν από ένα σκουφάκι, του οποίου το χρώμα θα είναι πράσινο ή μπλε. Στη συνέχεια θα ανάψει τα φώτα και θα ρωτήσει τον καθένα τους με τη σειρά, ξεκινώντας από τον τελευταίο στην ουρά, τι χρώμα σκουφάκι φοράει.
    Αν τουλάχιστον οι 19 από τους 20 φοιτητές καταφέρουν να δώσουν τη σωστή απάντηση, θα περάσουν όλοι το μάθημα. Για το σκοπό αυτό τους πρότεινε πριν ξεκινήσει η δοκιμασία να συνεργαστούν.
    Οι φοιτητές συσκέφτηκαν μεταξύ τους και βρήκαν τον τρόπο, χωρίς να κλέψουν, να κερδίσουν την πρόκληση του καθηγητή. Πως τα κατάφεραν;

    Διευκρινίσεις:
    1. Οι φοιτητές θα τοποθετηθούν στη σειρά με τρόπο ώστε ο καθένας να μπορεί να βλέπει όλα τα σκουφάκια των μπροστινών του, αλλά όχι το δικό του ή τα σκουφάκια των πισινών του.
    2. Ο καθηγητής δεν διευκρίνισε τον αριθμό των πράσινων και μπλε σκουφιών που θα φορέσει στους φοιτητές του. Μπορεί να έχουν όλα το ίδιο χρώμα, να είναι 10 πράσινα και 10 μπλε, ή οποιοσδήποτε άλλος συνδυασμός. Η σειρά των χρωμάτων που θα επιλέξει είναι τυχαία.
    3. Ο κάθε φοιτητής απαντάει στην ερώτηση του καθηγητή τι χρώμα σκουφάκι φοράει, με τις λέξεις «πράσινο» ή «μπλε». Απαγορεύεται να πει οτιδήποτε άλλο, να χρωματίσει τη φωνή του, να καθυστερήσει να απαντήσει ή να κάνει οποιουδήποτε είδους νόημα. Γενικά η μόνη πληροφορία που μπορεί να μεταδώσει ο ερωτηθείς φοιτητής στους υπολοίπους αποτελείται αποκλειστικά από μία εκ των δύο αυτών λέξεων.
    4. Την απάντηση του κάθε φοιτητή μπορούν να την ακούσουν όλοι οι υπόλοιποι.
    Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
    Steli0s1, giorgait88, panmag, batman1986, fandom, Δημητρης, aldel, kajabbar, trapatsas, apostolos7880, ΧΑΡΗΣ, MrKitsos, offspring, pegasusgr, Pavlos D., Spiros E, enfante gatee, stratos, takis7up, sotrixios, swt, kostas21, Antonis1996, Dimitrios, Michalis, ksekarfotos, Kontoleon, SecretName, johnthegreek, jimis petkos, saxon, kraptaki, Panos, tommy_boy, babinos_cfu, GooD, ΖΟRΤ, ΘΑΝΑΤΟΣ, Dreamkiller, stavgeor, GeoChris, Νίκαια, Δ.Δ., kwstas148, theo, efthimis, r9, gedelbil, Xeliaz, kb666, BOMBER, Θανάσης Παπαδημητρίου, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, straniero, takis, percival, qwerty, MelLo, george ts, Χαράλαμπος Αλεξόπουλος, forest, Diam, G SOZELGI, sf, Κύριος Ζίκος, Αλέκος Ντόρντας, ioannesx, nikos_ex, daskalos1971, kostas thanasis, Πειραχτήρι, Χρηστος Χ., ΧΡ.ΧΑΣΑΝΕΑΣ, Κυριαζής Γιώργος, demistek, gerodiak, asotos-ios, guitaboygrizi, Λαέρτης, alexpsomi, Γιασσιράνης Δημήτριος, nerd, Kensh1n, JOELMARX, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, milis, Γρηγόρης, sciamano caotico, Sakos, Antonios Seretis, Stathis,

    Συνδυαστικής σκέψης - Έξι βούλες (****)

    Τρεις λογικολόγοι πρόκειται να παίξουν ένα παιχνίδι. Θα καθίσουν σε τρεις καρέκλες και ένας διαιτητής θα βάλει στα κρυφά δύο βούλες στο μέτωπο του καθενός, έτσι ώστε ο καθένας τους να μπορεί να βλέπει τις βούλες των άλλων δύο, αλλά όχι τις δικές του. Ο διαιτητής έχει στη διάθεσή του 4 κόκκινες και 4 μαύρες βούλες. Θα επιλέξει τυχαία τις 6 βούλες που θα βάλει στα μέτωπα των τριών παικτών και θα του περισσέψουν 2 που δεν θα χρησιμοποιήσει και θα τις κρύψει μετά την τοποθέτηση.
    Οι παίκτες με τη σειρά, ερωτούνται για το χρώμα που έχουν οι βούλες στο μέτωπό τους. Σκοπός του παιχνιδιού είναι κάποιος παίκτης να απαντήσει σωστά και να τεκμηριώσει τη λογική διαδικασία που τον οδήγησε στην απάντησή του. Αν κάποιος παίκτης δεν ξέρει τι χρώμα βούλες έχει, ερωτάται ο αμέσως επόμενος. Η σειρά των ερωτήσεων, ανάλογα με τη θέση που κάθονται, είναι η εξής: 1 – 2 – 3 – 1 – 2 – 3 - κλπ.
    Πριν ξεκινήσει το παιχνίδι ερωτάται ο πρώτος λογικολόγος σε ποια από τις τρεις θέσεις θέλει να καθίσει. Ποια θέση πρέπει να διαλέξει και γιατί;

    Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
    Steli0s1, alpapado, aldel, batman1986, pegasusgr, enfante gatee, stratos, takis7up, Michalis, MrKitsos, swt, offspring, Κηαες, ΘΑΝΑΤΟΣ, stavgeor, kraptaki, percival, theo, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Θανάσης Παπαδημητρίου, G SOZELGI, saxon, sf, alexpsomi, man123

    Συνδυασμών - Αποτέλεσμα 33333 (***)

    Βρείτε έναν πενταψήφιο και έναν τετραψήφιο αριθμό για τους οποίους αν αφαιρεθεί ο τετραψήφιος από τον πενταψήφιο, το αποτέλεσμα της αφαίρεσης θα είναι ο αριθμός 33333 και θα έχετε χρησιμοποιήσει όλα τα ψηφία από 1 έως 9, μία φορά το καθένα.

    Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
    kostas, Steli0s1, GRigori0s, tsimartsie, Godfather_X, ΧΑΡΗΣ, Βασίλης, bioamanas, batman1986, fandom, aldel, trapatsas, MrKitsos, Pavlos D., pegasusgr, Spiros E, offspring, deniskol54565456, stratos, takis7up, xara, swt, Antonis1996, stelios, ksekarfotos, Michalis, Καλογιαννίδης, tg, Stoyo, Danger, Kontoleon, xristina, johnthegreek, Πάνος, kraptaki, saxon, giannhs, Diuplontoyvaros, erratic, Png, Test, Emily4ever, Nick, stauros, GooD, ΘΑΝΑΤΟΣ, stavgeor, p.kritikos, maria, tasmil, killerado, Biorebel, tasosi2008, stavuoa, fighter, efthimis, Giannismarg, Xeliaz, Θάνος, Nikos Stamatiou, gvoutsi1995, avevaios, giorgos k, manos8, jason1996, Gipas, AlexiouG, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, straniero, Θανάσης Παπαδημητρίου, percival, BOMBER, takis, g.clifford, p@nos, Leo28, Καραγιάννη Ειρήνη, MelLo, kostas menidi, Ο Άστατος, Tamy, Mike Ambas, Theodor, anastakz, nama, Greg Balaskas, Εύα, G SOZELGI, Panos, cris, nomnomnom, BAndrew, Aliki, ZORIKOS, Antonios Seretis, lakostas, sf, paok, Stathis, daskalos1971, nikos_ex, Κάποιος, Kris Geo, asotos-ios, alexpsomi, stem, cris, panoslep, Kensh1n, grvoodoo, JOELMARX, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΟΥΣΗΣ, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, Kos Monodri, Γρηγόρης, sakis kefallinos,

    Πιθανοτήτων - Τζόκερ (***)

    Έχουμε μία τράπουλα με 52 φύλλα στην οποία προσθέτουμε και τον έναν τζόκερ. Ανακατεύουμε τα 53 φύλλα και τα απλώνουμε κλειστά πάνω σε ένα τραπέζι. Ανοίγουμε ένα-ένα τα φύλλα με τυχαία σειρά.
    Ποια είναι η πιθανότητα όταν θα ανοίξουμε τον τζόκερ να έχουμε ανοίξει ήδη τους τέσσερις άσσους της τράπουλας;

    Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
    ΧΑΡΗΣ, fandom, batman1986, trapatsas, offspring, MrKitsos, Pavlos D., pegasusgr, Kontoleon, Φώτης Π., stratos, takis7up, Dimitrios, Michalis, swt, kraptaki, saxon, Πιθανολογος, Test, Antonis1996, ΘΑΝΑΤΟΣ, Jason, stavgeor, GiorgosP, EpicZeroXXi, gvoutsi1995, avevaios, Θανάσης Παπαδημητρίου, BOMBER, Crocodile23, efthimis, greece, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, k4rp, takis, percival, giorgaras55, vassilistrend, inenitable216, Theodor, john vas, Aliki, Panos, G SOZELGI, scap, cris, sf, daskalos1971, alexpsomi, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, PraikoN, sciamano caotico, Νεφέλη, Nikos Stamatiou

    Πιθανοτήτων - Ο χαρτοκλέφτης (***)

    Σε μια πόλη της Άγριας Δύσης έπιασαν έναν ξένο που έκλεβε στα χαρτιά.Μιας και ήταν τζογαδόρος, ο σερίφης αποφάσισε η μοίρα του να κριθεί στην τύχη.
    Έβαλε λοιπόν δύο σφαίρες σε ένα εξάσφαιρο πιστόλι με μύλο και αποφάσισε να πατήσει τη σκανδάλη δύο φορές με το όπλο στραμμένο προς τον κλέφτη. Αν και τις δύο φορές το όπλο δεν πυροβολούσε, τότε θα του χαριζόταν η ζωή. Για να μην κατηγορηθεί μάλιστα για μεροληψία, ο σερίφης γύρισε δυνατά τον μύλο πριν τον κλείσει ώστε να μη γνωρίζει ούτε ο ίδιος τη θέση των δύο σφαιρών πριν πατήσει τη σκανδάλη.
    Πατάει λοιπόν τη σκανδάλη για πρώτη φορά και το όπλο κάνει «κλικ», χωρίς να πυροβολήσει. Στο σημείο αυτό ο σερίφης ρωτάει τον κλέφτη αν προτιμάει να ξαναγυρίσει τυχαία τον μύλο πριν πατήσει τη σκανδάλη για δεύτερη φορά ή να πατήσει τη σκανδάλη με τη θαλάμη που είναι οπλισμένη εκείνη τη στιγμή, δηλαδή στην αμέσως επόμενη θέση από την πρώτη απόπειρα.
    Ο κλέφτης, σαν τζογαδόρος που ήταν, γνώριζε από πιθανότητες, γι αυτό ρώτησε τον σερίφη αν τοποθέτησε τις σφαίρες στο πιστόλι τη μία δίπλα στην άλλη ή όχι.
    Ανάλογα με την απάντηση του σερίφη ξέρει τι θα ζητήσει να γίνει με τον μύλο ώστε να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να του χαριστεί η ζωή.
    Ποια θα είναι η απόφασή του για κάθε μία από τις ακόλουθες πιθανές απαντήσεις του σερίφη;
    Α) «Έβαλα τις σφαίρες σε διαδοχικές θέσεις»
    Β) «Δεν έβαλα τις σφαίρες σε διαδοχικές θέσεις»
    Γ) «Πολλά ρωτάς. Πάρε μια απόφαση τώρα!»

    Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
    kostas, Steli0s1, Chris, ΧΑΡΗΣ, fandom, batman1986, trapatsas, offspring, MrKitsos, pegasusgr, xazos+xaroumenos!,  Kontoleon, stratos, civil, swt, takis7up, Michalis, Stoyo, Πάνος, saxon, jimis petkos, kraptaki, Πιθανολογος, Test, Antonis1996, ΘΑΝΑΤΟΣ, manolito, stavgeor, killerado, Lucidreamer, panos1982, Xeliaz, Nikos Stamatiou, joanna 1996, Θανάσης Παπαδημητρίου, straniero, Crocodile23, greece, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, percival, vassilistrend, john vas, Peter V, G SOZELGI, sf, alexpsomi, Kensh1n, JOELMARX, Γρηγόρης, Νεφέλη, daskalos1971, ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΥΚΑΣ

    Παράδοξα - Προσδιορισμός αριθμών (****)

    Παρακάτω θα αποδείξουμε πως κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες. Φυσικοί λέγονται οι ακέραιοι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του 0. Λέγοντας λέξεις εννοούμε ελληνικές λέξεις που περιέχονται σε οποιοδήποτε λεξικό και οι οποίες πρέπει να σχηματίζουν κάποια φράση με νόημα. Π.χ. η φράση "ο φυσικός αριθμός μεταξύ του τρία και του πέντε" προσδιορίζει τον αριθμό 4.
    Η πρόταση είναι προφανώς εσφαλμένη για τον εξής λόγο: Οι ελληνικές λέξεις είναι πεπερασμένες. Οι συνδυασμοί που προκύπτουν από δεκατέσσερις λέξεις επιλεγμένες από ένα πεπερασμένο σύνολο λέξεων είναι επίσης πεπερασμένοι. Οι φυσικοί αριθμοί όμως είναι άπειροι και συνεπώς δεν μπορούν να αντιστοιχιστούν όλοι με κάποιον συνδυασμό 14 ή λιγότερων λέξεων, ακόμα και αν όλοι αυτοί οι συνδυασμοί είχαν κάποιο νόημα.

    Η παρακάτω απόδειξη γίνεται με τη μέθοδο της ατόπου απαγωγής που λειτουργεί ως εξής: Θέλουμε να αποδείξουμε πως μία πρόταση Α είναι αληθής. Υποθέτουμε αρχικά πως είναι ψευδής και στη συνέχεια με λογικούς συνειρμούς προσπαθούμε να καταλήξουμε σε αντίφαση. Τότε η υπόθεση που κάναμε πως η πρόταση Α είναι ψευδής δεν είναι σωστή και συνεπώς η πρόταση Α πρέπει να είναι αληθής.
    Προσπαθήστε να ανακαλύψετε γιατί η απόδειξη είναι λανθασμένη.

    ΑΠΟΔΕΙΞΗ
    1. Υποθέτουμε πως υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που δεν μπορούν να προσδιορισθούν με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες.
    2. Ένας από αυτούς τους αριθμούς θα είναι ο μικρότερος τους. Τον ονομάζουμε Ν.
    3. Τότε ο αριθμός Ν μπορεί να ορισθεί ως «ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες».
    4. Αυτή η πρόταση προσδιορίζει τον αριθμό Ν με δεκατέσσερις λέξεις και άρα έρχεται σε αντίφαση με την υπόθεση πως ο Ν είναι ένας αριθμός που δεν μπορεί να προσδιορισθεί με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες.
    5. Αφού η αρχική υπόθεση που κάναμε στο Βήμα 1 οδήγησε με λογικά βήματα σε αντίφαση, πρέπει να είναι εσφαλμένη.
    6. Άρα όλοι οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να προσδιορισθούν με δεκατέσσερις λέξεις ή λιγότερες!
    Σωστή απάντηση έχουν δώσει οι:
    aldel, batman1986, pegasusgr, MrKitsos, offspring, Christine MgKl, swt, Michalis, Stoyo, gaga, stratos, kraptaki, saxon, Zaxarias, Test, ΘΑΝΑΤΟΣ, theo, Θανάσης Παπαδημητρίου, Crocodile23, percival, Leo28, sbetsika, ΕΑΛΕΞΙΟΥ, Roland_Of_Gilead, Βαγγέλης, Σωτήρης, Nikos Lentzos, alexpsomi, nerd, sf, Γρηγόρης, Νεφέλη